例 4.1.7 (柯西分布的数学期望)

设 $X$ 服从标准柯西分布,即

$$f_X\left(x\right)=\frac{1}{\pi \left(1+x^2\right)}.$$

试问 $X$ 的数学期望是否存在?

解

由于

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|x|\frac{1}{\pi (1+x^2)}dx& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }x\frac{1}{(1+x^2)}dx,\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{d(1+x^2)}{1+x^2},\\ & ={\frac{1}{\pi }\ln (1+x^2)|}_0^{\infty },\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{\pi }\ln (1+x^2),\\ & =\infty \text{.}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1.5)}$$

可见, $X$ 的数学期望不存在. 其实,熟悉积分收敛性判别的读者,立即可以看出 (4.1.5) 左端的积分不收敛, 从而可省去以上计算.