例 4.1.9 (二项分布的方差)

设 $X\sim B\left(1,p\right)$,试求 $\mathrm{Var}\left[X\right]$.

解

由于 $P\left(X=1\right)=p,P\left(X=0\right)=1-p$,所以

$$E\left[X\right]=1\cdot p+0\cdot \left(1-p\right)=p,$$ $$E\left[X^2\right]=1^2\cdot p+0^2\cdot \left(1-p\right)=p.$$

进而用 (4.1.9) 得

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=p-p^2=p\left(1-p\right).$$