例 4.2.3 (二项分布的期望)

设 $X\sim B\left(n,p\right)$, 试求 $E\left[X\right]$.

解

这个问题在 例 4.1.1 (二项分布的数学期望) 中已有答案. 我们这里利用数学期望的线性性来计算. 由于 $X$ 与 $n$ 重独立伯努利试验中的 “成功” 次数同分布 (成功的概率为 $p$ ), 令

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若第 }i\text{ 次试验成功,}\\ 0,& \text{ 若第 }i\text{ 次试验失败,}\end{array}i=1,2,\cdots ,n,$$

则 $P\left(X_i=1\right)=p$, $P\left(X_i=0\right)=1-p$, 进而有 $E\left[X_i\right]=p$, $i=1,2,\cdots ,n$. 且

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$$

所以由数学期望的线性性 (参见 (4.2.8)) 有

$$\begin{array}{rl}E\left[X\right]& =E\left[X_1+X_2+\cdots +X_n\right]\\ & =E\left[X_1\right]+E\left[X_2\right]+\cdots +E\left[X_n\right]\\ & =np.\end{array}$$