例 5.2.2 (影院座位设置)

设某地区内原有一家小型电影院, 因业务需要, 拟筹建一家较大型电影院. 根据分析,该地区每天看电影者约有 $n=1600$ 人,且预计新电影院建成开业后,约有 $\frac{3}{4}$ 的观众会去新影院. 现该影院在计划其座位数, 要求座位数尽可能多, 但 “空座多于 200” 的概率又不能超过 0.1, 问该设多少座位?

解

将 1600 位可能去看电影的人编号 $1,2,\cdots ,1600$,记

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若第 }i\text{ 位观众去新影院; }\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}i=1,2,\cdots ,1600.$$

由题设, $X_i\sim B\left(1,\frac{3}{4}\right)$, 且假定各位观众是否去新影院相互独立, 所以 $X_1,X_2,\cdots ,X_{1600}$ 相互独立, 且 (参见 例 4.2.3 (二项分布的期望))

$$X_1+X_2+\cdots +X_{1600}\sim B\left(1600,0.75\right),$$

现设座位数为 $m$,依题意应有

$$P\left(X_1+X_2+\cdots +X_{1600}\le m-200\right)\le 0.1.$$

由于要求 $m$ 尽可能大,又要使上式成立, 所以应取 $m$ 使得

$$P\left(X_1+X_2+\cdots +X_{1600}\le m-200\right)\le 0.1.$$

由于 $n$ 较大, 我们用定理 5.2.2 的结论作近似计算.

依定理 5.2.2 作近似计算, 则 (5.2.3) 中的 $np=1600\times \frac{3}{4}=1200,\sqrt{np\left(1-p\right)}=10\sqrt{3}.$ 所以由定理 5.2.2 有

$$\begin{array}{rl}& P\left(X_1+X_2+\cdots +X_{1600}\le m-200\right)\\ & =P\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_{1600}-1200}{10\sqrt{3}}\le \frac{m-200-1200}{10\sqrt{3}}\right)\\ & \approx \Phi \left(\frac{m-1400}{10\sqrt{3}}\right)\end{array}$$

令 $\Phi \left(x\right)=0.1$, 用 $\mathrm{R}$ 软件的 qnorm 函数得 qnorm $\left(0.1\right)=-1.281552$.

于是应有

$$\frac{m-200-1200}{10\sqrt{3}}\le -1.281552,$$

即

$$m\le 1377.803.$$

因此该电影院设 1377 个座位为好.