例 4.2.4 (二项分布的方差)

设 $X \sim B (n, p)$ , 试求 $Var [X]$ .

解

沿用例 4.2.3 的有关记号, $Var [X_{i}] = p (1 - p), i = 1, 2, \dots, n .$ 由试验的独立性知, $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 相互独立, 且

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

Var [X] = Var [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = Var [X_{1}] + Var [X_{2}] + \dots + Var [X_{n}] = n p (1 - p) .