例子 (射手环数)

一位射手的水平用打出的环数来记, 其分布列为

$$X\sim \left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 0.01& 0.02& 0.05& 0.06& 0.06& 0.1& 0.2& 0.3& 0.1& 0.1\end{array}\right).$$

我们想用一个数来刻画该射手的平均环数. 由于他打出各环数的概率不同, 显然不能用 1 到 10 的算术平均值来计算, 而应考虑他打出环数的概率. 根据概率的统计定义, 我们可以认为, 他射击 100 次, 打出 1 环的次数近乎 1 次, 打出 2 环的次数近乎 2 次, 打出 3 环的次数近乎 5 次, $\cdots$, 打出 10 环的次数近乎 10 次.

所以射击 100 次的平均环数近似地为

$$\begin{array}{rl}& \frac{1\times 1+2\times 2+3\times 5+4\times 6+\cdots +8\times 30+9\times 10+10\times 10}{100}\\ =& 1\times \frac{1}{100}+2\times \frac{2}{100}+3\times \frac{5}{100}+4\times \frac{6}{100}+\cdots +10\times \frac{10}{100}\\ =& 1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+\cdots \\ & +10\cdot P(X=10)\text{.}\end{array}$$