通过期望计算方差

通过期望计算方差

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=E\left[X^2\right]-{\left(E\left[X\right]\right)}^2.\text{\hspace{1em}(4.1.9)}$$

借助公式 (4.1.2) 和 (4.1.4), 如果随机变量的方差存在, 我们有如下计算公式:

(1) 对于具有概率分布为 $P\left(X=x_i\right)=p_i$, $i=1,2,\cdots$ 的离散型随机变量 $X$,

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=\sum _{i=1}^{\infty }{\left(x_i-E\left[X\right]\right)}^2{p}_i.\text{\hspace{1em}(4.1.7)}$$

(2) 对于具有分布密度函数 $f_X$ 的连续型随机变量 $X$,

$$\mathrm{Var}\left[X\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-E\left[X\right]\right)}^2{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(4.1.8)}$$

由求和运算和积分运算的线性性, 显然有

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=E\left[X^2\right]-{\left(E\left[X\right]\right)}^2.\text{\hspace{1em}(4.1.9)}$$

事实上, 若按 (4.1.7), 我们有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}\left[X\right]& =\sum _{i=1}^{\infty }{\left(x_i-E[X]\right)}^2{p}_i,\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\left(x_i^2-2E[X]\cdot x_i+(E[X]{)}^2\right)p_i,\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i^2{p}_i-2E[X]\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i+(E[X]{)}^2\sum _{i=1}^{\infty }{p}_i,\\ & =E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+(E[X]{)}^2,\\ & =E[X^2]-(E[X]{)}^2.\end{array}$$

请读者按 (4.1.8) 证明 (4.1.9).