中心极限定理使用的拓扑

中心极限定理（CLT）的核心在于描述标准化样本均值的分布形态随样本量增大的变化趋势，而非随机变量本身的数值趋近性。以下通过具体例子说明为何CLT使用依分布收敛而非依概率收敛：

1. 依概率收敛 vs. 依分布收敛的直观区别

• 依概率收敛：随机变量序列 $\{Y_n\}$ 依概率收敛于常数 $c$，意味着随着 $n$ 增大，$Y_n$ 的值以高概率集中在 $c$ 附近（例如大数定律中样本均值收敛于总体均值）。
• 依分布收敛：随机变量序列 $\{Y_n\}$ 的分布函数逐渐趋近于某个目标分布（例如CLT中标准化均值的分布趋近于标准正态分布）。

2. 例子：均匀分布（掷骰子）

假设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是独立同分布的随机变量，每个 $X_i$ 服从 1 到 6 的离散均匀分布（如掷骰子），其均值为 $\mu =3.5$，方差为 ${\sigma }^2=2.9167$。

(1) 大数定律（依概率收敛）

样本均值 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 依概率收敛于 $\mu =3.5$。即对于任意 $ϵ>0$：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|{\bar{X}}_n-3.5|\ge ϵ\right)=0.$$

此时，${\bar{X}}_n$ 的数值逐渐稳定在3.5附近。

(2) 中心极限定理（依分布收敛）

标准化后的样本均值：

$$Z_n=\frac{{\bar{X}}_n-3.5}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}({\bar{X}}_n-3.5)}{\sqrt{2.9167}},$$

其分布随 $n$ 增大逐渐趋近于标准正态分布 $N(0,1)$。但 $Z_n$ 本身并不依概率收敛于任何固定值，因为：

• 对于任意有限的 $n$，$Z_n$ 的方差恒为1（不随 $n$ 增大而减小）。
• $Z_n$ 的分布形态逐渐接近正态，但具体取值仍具有随机性。

3. 关键原因分析

CLT使用依分布收敛的核心原因在于：

1. 标准化变量的方差固定： 即使 $n\to \infty$，标准化后的 $Z_n$ 的方差始终为1，导致 $Z_n$ 无法在数值上趋近于某个固定点（依概率收敛要求方差趋于0）。
2. 分布形态的逼近： CLT关注的是 $Z_n$ 的分布如何逼近正态分布，而非 $Z_n$ 本身是否趋近于某个随机变量。例如，若 $X_i$ 服从非正态分布（如均匀分布），$Z_n$ 的分布会逐渐“平滑”为钟形曲线，但每个 $Z_n$ 仍是具有随机性的变量。
3. 反例验证： 如果CLT使用依概率收敛，则应有 $Z_n\to 0$（因为正态分布集中在0附近），但显然：

$$P(|Z_n|\ge 1)\to P(|N(0,1)|\ge 1)\approx 0.3174\ne 0,$$

这与依概率收敛的定义矛盾。

4. 数学形式对比

• 依概率收敛（大数定律）：

$${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu \text{当}n\to \infty .$$

• 依分布收敛（中心极限定理）：

$$Z_n=\frac{\sqrt{n}({\bar{X}}_n-\mu )}{\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1)\text{当}n\to \infty .$$

5. 总结

中心极限定理通过依分布收敛，揭示了标准化样本均值的分布形态趋近于正态分布的特性。这种收敛不关心随机变量本身是否趋近于某个数值，而是描述其分布规律的普适性。依概率收敛则适用于描述数值稳定性（如大数定律），两者分别刻画了概率论中不同层次的收敛行为。