例 5.2.1 (应用林德伯格 - 莱维定理)

已知设 $X_1,X_2,\cdots$ 为独立同分布随机变量序列, 具有数学期望 $\mu =1$ 和方差 ${\sigma }^2=4$. 试求 $P\left(X_1+X_2+\cdots +X_{100}\le 125\right)$.

解

由于 $n$ 较大,我们用定理 5.2.1 的结论作近似计算. 由题设, (5.2.2) 中的 $n\mu =100$, $\sigma \sqrt{n}=20$, 所以由 定理 5.2.1 (林德伯格 - 莱维定理) 有

$$\begin{array}{rl}& P\left(X_1+X_2+\cdots +X_{100}\le 125\right)\\ & =P\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_{100}-100}{20}\le \frac{125-100}{20}\right)\\ & \approx \Phi \left(1.25\right)=0.8943502.\end{array}$$