依分布收敛

解释是依分布收敛，并与以概率收敛、以概率为一收敛比较。

依分布收敛是概率论中随机变量收敛性的一种较弱形式，主要关注分布函数的收敛性。设随机变量序列$\{X_n\}$的累积分布函数（CDF）为$\{F_n(x)\}$，若存在随机变量$X$的CDF $F(x)$，使得在$F(x)$的所有连续点$x$处有$F_n(x)\to F(x)$，则称$\{X_n\}$依分布收敛于$X$，记为$X_n\stackrel{d}{⟶}X$¹²³。

与其他收敛方式的比较

依概率收敛

• 定义：若对任意$\epsilon >0$，有${\lim }_{n\to \infty }P(|X_n-X|>\epsilon )=0$，则称$\{X_n\}$依概率收敛于$X$，记为$X_n\stackrel{P}{⟶}X$³⁴。
• 关系：依概率收敛强于依分布收敛，即$X_n\stackrel{P}{⟶}X\Rightarrow X_n\stackrel{d}{⟶}X$。但反之不成立，除非极限为常数（此时依分布收敛可推出依概率收敛）³⁴⁵。

几乎必然收敛（以概率1收敛）

• 定义：若$P\left({\lim }_{n\to \infty }{X}_n=X\right)=1$，则称$\{X_n\}$几乎必然收敛于$X$，记为$X_n\stackrel{a.s.}{⟶}X$⁶⁷。
• 关系：几乎必然收敛强于依概率收敛，即$X_n\stackrel{a.s.}{⟶}X\Rightarrow X_n\stackrel{P}{⟶}X$。但反之不一定成立⁶³⁷。

关键区别

1. 收敛对象：
   • 依分布收敛关注分布函数的收敛，而非随机变量本身的值。
   • 依概率收敛和几乎必然收敛直接关注随机变量值的接近程度。
2. 强度关系：
   • 几乎必然收敛 $\Rightarrow$ 依概率收敛 $\Rightarrow$ 依分布收敛³⁸⁴。
   • 逆命题仅在特定条件下成立（如依分布收敛到常数时，可推出依概率收敛）⁵。
3. 应用场景：
   • 依分布收敛：常见于中心极限定理，描述分布的渐近性质¹³。
   • 依概率收敛：用于弱大数定律，说明估计量的一致性⁹⁴⁵。
   • 几乎必然收敛：用于强大数定律，强调“几乎确定”的收敛行为⁶⁷。

示例

• 依分布但不依概率收敛：设$X_n\sim N(0,1/n)$，则$X_n\stackrel{d}{⟶}0$，但由于方差趋于零，$X_n\stackrel{P}{⟶}0$也成立⁵。
• 依概率但不几乎必然收敛：在区间${[}^1]$上定义$X_n(\omega )=I_{[0,1/n]}(\omega )$，则$X_n\stackrel{P}{⟶}0$，但$\mathrm{limsup}{X}_n=1$，故不几乎必然收敛³。

总之，依分布收敛是分布层面的弱收敛，而依概率和几乎必然收敛是值层面的强收敛，三者构成了概率论中描述随机变量极限行为的重要工具。

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Footnotes

1. https://www.bananaspace.org/wiki/依分布收敛 ↩ ↩²

2. https://www.cnblogs.com/analysis101/p/15347396.html ↩

3. https://zh.wikipedia.org/zh-hans/随机变量的收敛 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶ ↩⁷

4. https://zh.wikipedia.org/zh-hans/依概率收敛 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

5. https://blog.csdn.net/RSstudent/article/details/126807071 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

6. https://www.bananaspace.org/wiki/讲义:概率与数理统计(PKU-COE)/大数定律与中心极限定理/几乎必然收敛与依概率收敛 ↩ ↩² ↩³

7. https://www.cnblogs.com/analysis101/p/14664853.html ↩ ↩² ↩³

8. https://www.zhihu.com/question/26736727 ↩

9. https://zh-cn.statisticseasily.com/词汇表/概率中的收敛是什么/ ↩