定理 5.2.1 (林德伯格 - 莱维定理)

定理 5.2.1 (林德伯格 - 莱维定理)

设 $\{X_k{\}}_{k=1}^{\infty }$ 是一列随机变量，具有

• 独立同分布
• 有限的数学期望 $\mu$
• 有限的方差 ${\sigma }^2$，

则 $X_1,X_2,\cdots$, 服从中心极限定理. 即

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\left[\sum _{k=1}^n{X}_k-n\mu \right]\le x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u.\text{\hspace{1em}(5.2.2)}$$

证明思路：

我们采用特征函数法来证明 CLT，因为它清晰展示了从分布收敛到正态分布的过程。

1. 设定标准化和

设

$$S_n:=\sum _{k=1}^n{X}_k,$$

我们考虑标准化后的变量：

$$Z_n:=\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}.$$

目标是证明 $Z_n\stackrel{d}{\to }N(0,1)$，即其分布函数收敛于 $\Phi (x)$。

2. 计算特征函数

令 ${\phi }_X(t)$ 是单个随机变量 $X_1$ 的特征函数，即

$${\phi }_X(t):=\mathbb{E}[e^{it{X}_1}].$$

则 $Z_n$ 的特征函数为：

$${\phi }_{Z_n}(t)=\mathbb{E}\left[e^{it{Z}_n}\right]={\left(\mathbb{E}\left[e^{i\frac{t}{\sigma \sqrt{n}}(X_1-\mu )}\right]\right)}^n={\left({\phi }_{X_1-\mu }\left(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}^n.$$

由于 $X_1-\mu$ 的期望为 $0$，方差为 ${\sigma }^2$，其特征函数 ${\phi }_{X_1-\mu }(t)$ 在 $t\to 0$ 的泰勒展开为：

$${\phi }_{X_1-\mu }(t)=1-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}+o(t^2).$$

因此，

$${\phi }_{Z_n}(t)={\left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}^n\to e^{-t^2/2},\text{当 }n\to \infty .$$

而 $e^{-t^2/2}$ 是标准正态分布 $N(0,1)$ 的特征函数。

3. 应用 Lévy 连续性定理

由 Lévy 连续性定理，若一列随机变量的特征函数点态收敛到某个特征函数，并且该极限函数连续，则对应的随机变量分布也收敛。 所以，

$$Z_n\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

即：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\left[\sum _{k=1}^n{X}_k-n\mu \right]\le x\right)=\Phi (x),$$

这正是我们要证的中心极限定理公式 $(\mathrm{5.2.2})$。

证毕。