推论 5.1.1 (伯努利大数定律)

推论 5.1.1 (伯努利大数定律)

记 ${\nu }_n$ 为 $n$ 重独立伯努利试验中成功的次数, $p$ 为一次试验成功的概率,则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|\frac{{\nu }_n}{n}-p\right|\ge \epsilon \right)=0.\text{\hspace{1em}(5.1.7)}$$

证明

设 $X_1,X_2,\cdots$ 为独立同分布的随机变量序列,同服从 $B\left(1,p\right)$, 则 $E\left[X_1\right]=p$,且

$$\frac{{\nu }_n}{n}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$

从而由 (5.1.6) 即得 (5.1.7).