Kolmogorov SLLN 中条件必要性

在Kolmogorov强大数定律（SLLN）中，独立同分布（i.i.d.）条件是保证样本均值几乎必然收敛的关键。 我们通过两个反例说明该条件的必要性：

反例1：独立但不同分布（方差爆炸）

构造独立随机变量序列 $\{X_n\}$，其分布为：

$$X_n=\{\begin{array}{ll}{n}^2,& \text{概率 }\frac{1}{n^2}\\ 0,& \text{概率 }1-\frac{1}{n^2}\end{array}$$

• 期望：$E(X_n)=n^2\cdot \frac{1}{n^2}+0=1$
• 方差：$Var(X_n)=n^4\cdot \frac{1}{n^2}-1^2=n^2-1$

尽管变量独立且 $E(X_n)=1$，但方差满足：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{Var}(X_n)}{n^2}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2-1}{n^2}=\infty$$

根据Kolmogorov准则 ^{1 2}，此时SLLN失效。样本均值 $\frac{S_n}{n}$ 可能发散，尽管各变量期望相同。

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反例2：同分布但非独立（完全正相关）

令所有$X_n=X_1$（完全正相关），其中$X_1$是非退化随机变量（如标准正态分布）。

• 样本均值：$\frac{S_n}{n}=\frac{n{X}_1}{n}=X_1$
• 收敛性：$\frac{S_n}{n}$不收敛到常数$E(X_1)$，而是始终等于$X_1$。

此例显示：缺乏独立性时，即使同分布，样本均值也无法几乎必然收敛到期望值 ^{2 3}。

条件必要性的理论依据

条件类型	必要性分析
独立性	消除变量间相关性，避免方差累积失控（如反例2） 2 3
同分布	确保期望一致，防止期望差异导致样本均值偏移（若$E(X_n)$变化，均值可能不收敛） 4 3

关键结论

• 独立性：防止变量间的隐藏关联导致方差爆炸（如反例1的方差条件不满足）。
• 同分布：保证期望一致性，避免样本均值被不同期望的变量主导。
• 替代条件：若放宽i.i.d.，需额外限制（如$\sum Var(X_n)/n^2<\infty$）来补偿分布差异 ^{1 2}。

通过这两个反例，我们直观展示了Kolmogorov SLLN中i.i.d.条件的不可替代性。

Footnotes

1. https://statisticaloddsandends.wordpress.com/2019/04/29/kolmogorovs-strong-law-of-large-numbers/ ↩ ↩²

2. https://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math533.S21/Notes/Csorgo1983.pdf ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

3. https://www2.stat.duke.edu/courses/Fall17/sta711/lec/wk-08.pdf ↩ ↩² ↩³

4. https://www.math.hkust.edu.hk/~makchen/MATH5411/Chap1Sec7.pdf ↩