定理 5.1.1 (切比雪夫弱大数定律)

定理 5.1.1 (切比雪夫弱大数定律)

设 $X_1,X_2,\cdots$,为独立随机变量序列,

• $E\left[X_i\right]=\mu$,
• $\mathrm{Var}\left[X_i\right]\le C,i=1,2,\cdots$,

则对任意 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}-\mu \right|\ge \epsilon \right)=0.\text{\hspace{1em}(5.1.5)}$$

证明

由于 $X_1,X_2,\cdots$,的独立性有

$$\begin{array}{rl}E\left[\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}\right]& =\mu ,\\ \mathrm{Var}\left[\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}\right]& =\frac{{\sum }_{i=1}^n\mathrm{Var}\left[X_i\right]}{n^2}\le \frac{C}{n}.\end{array}$$

所以, 由 (5.1.4) 有

$$P\left(\left|\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}-\mu \right|\ge \epsilon \right)\le \frac{C}{n{\epsilon }^2}\to 0\left(n\to \infty \right).$$

这说明 (5.1.5) 成立.