7.1.1 矩法估计

矩法估计的想法来自大数定律 (参见 5.1 节的定理 5.1.1 和定理 5.1.2). 如果总体 $X$ 存在 $k$ 阶矩,则由定理 5.1.1 知,对任 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k-E\left[X^k\right]\right|\ge \epsilon \right)=0.\text{\hspace{1em}(7.1.1)}$$

这说明,当样本容量较大时,样本 $k$ 阶矩 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$ 与总体 $k$ 阶矩 $E\left[X^k\right]$ 差别很小.

所谓矩法估计,就是用样本 $k$ 阶矩估计总体 $k$ 阶矩. (7.1.1) 说明这种估计方法是有理论依据的. 另外, 通常总体各阶矩都与总体参数有关, 从而可以通过用样本 $k$ 阶矩估计总体 $k$ 阶矩来实现对参数的估计.

设总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right)$,通常用 ${\hat{\theta }}_M$ 来记 $\theta$ 的矩法估计量,它是样本 $(X_1,X_2,\cdots$ $X_n)$ 的一个函数,比如记为 ${\hat{\theta }}_M=T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$,从而 ${\hat{\theta }}_M$ 是一个随机变量行件不观测值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 代入估计量 ${\hat{\theta }}_M$ 所得的数值 $T\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$,我们称为参数 $\theta$ 的矩法估计值.

下面我们通过几个例子, 进一步说明矩法估计.

• 例 7.1.1 (矩法估计不及格品率)
• 例 7.1.2 (矩法估计袋装重量)

在例 7.1.2 中, 我们通过用样本 1,2 阶原点矩分别估计总体 1,2 阶原点矩, 得到的方差 ${\sigma }^2$ (总体 2 阶中心矩) 的估计量恰好也是样本 2 阶中心矩 $S_n^2$. 这一事实不是巧合而是必然的, 容易证明,

如果我们用样本各阶矩估计总体各阶矩, 则必然是用样本各阶中心矩估计总体各阶中心矩. 反之亦然.

例 7.1.3 (矩法估计左右端点)

例 7.1.4 (矩法估计参数)

在例 7.1.4 中, 还可由

$$E\left[X^2\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x={\int }_0^{\infty }{x}^2\theta {\mathrm{e}}^{-\theta x}\mathrm{d}x=\frac{2}{{\theta }^2}$$

得到 $\theta$ 的另外一个矩法估计量为 $\sqrt{2n/\sum _{i=1}^n{X}_i^2}$.

由以上的例子, 我们可以总结出如下矩法估计的一般步骤.

设总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_l\right)$,先计算 $X$ 的从 1 到 $l$ 的各阶矩,得到各阶矩与参数的关系

$$\{\begin{array}{ll}E\left[X\right]=& g_1\left({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_l\right),\\ E\left[X^2\right]=& g_2\left({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_l\right),\\ & \cdots \cdots \\ E\left[X^l\right]=& g_l\left({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_l\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1.2)}$$

由这些关系式中解出

$$\{\begin{array}{c}{\theta }_1=h_1\left(E\left[X\right],E\left[X^2\right],\cdots ,E\left[X^l\right]\right),\\ {\theta }_2=h_2\left(E\left[X\right],E\left[X^2\right],\cdots ,E\left[X^l\right]\right),\\ \cdots \cdots \\ {\theta }_l=h_l\left(E\left[X\right],E\left[X^2\right],\cdots ,E\left[X^l\right]\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1.3)}$$

最后, 将 (7.1.3) 右端函数中的总体各阶原点矩用样本各阶原点矩代替, 再将 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_l$ 换成 ${\widehat{{\theta }_1}}_M,{\widehat{{\theta }_2}}_M,\cdots ,{\widehat{{\theta }_l}}_M$ 即得.