6.1.2 统计量

按上所述,总体 $X$ 是我们研究的目标,而出发点是样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$, 那么研究的途径或手段就是所谓的统计量. 它的直观意思是要通过对样本观测值的处理, 来回答或推断总体的分布、数字特征、参数等. 所以统计量就是样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的一个函数, 但其中不能含未知参数, 否则由观测值得不出任何结果.

常用的统计量有以下几种:

1. 样本均值: $\bar{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$.
   • R 软件中用 mean(x) 来计算, 其中 $\mathrm{x}$ 为样本观测值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ (下同).
2. 样本方差: $S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2\cdot \mathrm{R}$ 软件中用 $\mathrm{n}/\left(\mathrm{n}-1\right)\ast \mathrm{var}\left(\mathrm{x}\right)$ 来计算. 修正样本方差: $S_n^{\ast 2}=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$
   • R 软件中用 $\mathrm{var}\left(\mathrm{x}\right)$ 来计算. 显然, $n{S}_n^2=\left(n-1\right)S_n^{\ast 2}$.
3. 样本 $k$ 阶原点矩: $\overline{X^k}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$.
4. 样本 $k$ 阶中心矩: $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^k$.
5. 顺序统计量: $X_{\left(1\right)}\le X_{\left(2\right)}\le \cdots \le X_{\left(n\right)}$, 其中
   • $X_{\left(1\right)}=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$,
   • $X_{\left(n\right)}=\max \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$,
   • 而 $X_{\left(k\right)}$ 是将 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的取值从小到大排列第 $k$ 位的值.
6. 样本中位数:

$$\tilde{X}=\{\begin{array}{ll}{X}_{\left(\frac{n+1}{2}\right)},& \text{ 若 }n\text{ 为奇数,}\\ \frac{1}{2}\left(X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right),& \text{ 若 }n\text{ 为偶数. }\end{array}$$

- $\mathrm{R}$ 软件中用 median(x)来计算.

7. 样本极差: $R_n^X=X_{\left(n\right)}-X_{\left(1\right)}$ - R 软件中用 $\max \left(\mathrm{x}\right)-\min \left(\mathrm{x}\right)$ 来计算.

• 方法与技巧
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