题型 6. 关于样本及统计量

1.26

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,其中 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 都是未知参数,随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体的样本.

(1)写出样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的样本空间和联合分布密度；

(2)指出下列样本函数哪些是统计量,哪些不是统计量.

• $T_1=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{X}_i$
• $T_3=2X_2+X_3,$
• $T_4=\max \left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right),$
• $T_5=\frac{X_1-\mu }{\sigma }$,
• $T_6=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i}{\sigma }\right)}^2.$

解

(1)

样本空间

$$\Omega =\left\{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\mid x_i\in R,i=1,2,\cdots ,n\right\}=R^n.$$

联合分布密度

$$\begin{array}{rl}f\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)& =\prod _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\\ & =\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{\sigma }^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}.\end{array}$$

(2)

因为 $T_1,T_3,T_4$ 中不含未知参数, 故 $T_1,T_3,T_4$ 是统计量, 而 $T_2,T_5,T_6$ 中含未知参数 (其中 $T_2$ 中 $E{X}_1=\mu$ ),故 $T_2,T_5,T_6$ 不是统计量.

1.27

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 和 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ 是两个样本,且有如下关系: $Y_i=\frac{1}{b}\left(X_i-a\right)$ $\left(i=1,2,\cdots ,n,a,b\text{不等于零都为常数}\right)$, 试求样本均值 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$, 修正的样本方差 $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 之间的关系.

解

$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{b}\left(X_i-a\right)=\frac{1}{b}\left(\bar{X}-a\right).$

则得 $\bar{X}=b\bar{Y}+a$.

$$\begin{array}{rl}{S}_Y^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-a}{b}-\frac{\bar{X}-a}{b}\right)}^2\\ & =\frac{1}{b^2}\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\\ & =\frac{1}{b^2}{S}_X^2.\end{array}$$

即得 $S_X^2=b^2{S}_Y^2$.

点评 当样本值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 中的每一个分量过大或过小时,为了计算简便,提高精度,可适当选择常数 $a,b\ne 0$,作线性变换 $y_i=\frac{1}{b}\left(x_i-a\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,使变换后的数据 $y_1,y_2,\cdots$, $y_n$ 大小适中,首先计算 $\bar{Y},S_Y^2$,只需做上述线性变换即得 $\bar{X}$ 和 $S_X^2$ 的值.