F分布的性质

F分布的性质

若 $Z \sim F (m, n)$ , 则 $\frac{1}{Z} \sim F (n, m) .$

1. F分布的定义 根据 $F$ -分布的定义，若 $X \sim χ^{2} (m)$ 和 $Y \sim χ^{2} (n)$ 是独立的卡方分布变量，则随机变量：

Z = \frac{X / m}{Y / n}

服从自由度为 $(m, n)$ 的 $F$ -分布，即 $Z \sim F (m, n)$ ¹²³。

2. 计算 $1/ Z$ 的表达式 对 $Z$ 取倒数：

\frac{1}{Z} = \frac{Y / n}{X / m} = \frac{Y / m}{X / n} .

此时，分子 $Y / m$ 是自由度为 $n$ 的卡方变量除以自由度 $m$ ，分母 $X / n$ 是自由度为 $m$ 的卡方变量除以自由度 $n$ 。

3. 应用F分布的定义 根据 $F$ -分布的定义，若将分子和分母的卡方变量交换自由度，则：

\frac{Y / m}{X / n} \sim F (n, m) .

因此， $\frac{1}{Z} \sim F (n, m)$ 。

设 $Z \sim F (m, n)$ ，则其概率密度函数（PDF）为：

f_{Z} (z) = \frac{Γ ( \frac{m + n}{2} )}{Γ ( \frac{m}{2} ) Γ ( \frac{n}{2} )} (\frac{m}{n})^{m /2} \frac{z ^{(m /2) - 1}}{( 1 + \frac{m}{n} z ) ^{(m + n) /2}} (z \geq 0) .

令 $W = \frac{1}{Z}$ ，则 $W$ 的累积分布函数（CDF）为：

P (W \leq w) = P (\frac{1}{Z} \leq w) = P (Z \geq \frac{1}{w}) = 1 - P (Z \leq \frac{1}{w}) .

对 $W$ 求导得到其 PDF：

f_{W} (w) = \frac{d}{d w} [1 - F_{Z} (\frac{1}{w})] = f_{Z} (\frac{1}{w}) \cdot \frac{1}{w ^{2}} .

将 $f_{Z} (\frac{1}{w})$ 代入并化简，可得：

f_{W} (w) = \frac{Γ ( \frac{m + n}{2} )}{Γ ( \frac{n}{2} ) Γ ( \frac{m}{2} )} (\frac{n}{m})^{n /2} \frac{w ^{(n /2) - 1}}{( 1 + \frac{n}{m} w ) ^{(m + n) /2}} (w \geq 0),

这正是自由度为 $(n, m)$ 的 $F$ -分布的 PDF⁴⁵。

通过定义和概率密度函数的推导，证明了若 $Z \sim F (m, n)$ ，则 $\frac{1}{Z} \sim F (n, m)$ 。这一性质在统计推断中常用于计算双侧检验的临界值或构造置信区间⁶⁷。

Youliang Zhong