3. F 分布

命题 6.3.4 (F分布)

若 $X\sim {\chi }^2\left(m\right)$, $Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 独立. 令

$$Z=\frac{X/m}{Y/n}$$

则 $Z$ 的分布密度函数为

$$f_Z\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{m}^{m/2}{n}^{n/2}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{{\left(mx+n\right)}^{\left(m+n\right)/2}},& x>0.\\ 0,& x\le 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.3.11)}$$

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命题 6.3.4 的证明中用到的积分计算稍繁,我们在此从略.

定义 (F分布)

若 $Z$ 的分布密度函数如式

Transclude of 命题-6.3.4-(F分布)#eq-6-3-11

则称 $Z$ 所服从的分布为 第一自由度为 $m$ 、第二自由度为 $n$ 的 $F$ 分布,记为 $Z\sim F(m,n)$. R 软件中的分布名为 $\mathrm{f}$.

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F 分布的密度函数如

图 6.3 F分布密度函数示意图

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显然 $F$ 分布具有性质:

Transclude of F分布的性质#statement