Gamma分布期望与方差的计算过程

Gamma分布的概率密度函数（PDF）为： $f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}(x\ge 0)$ 其中：

• $\alpha >0$ 为形状参数
• $\beta >0$ 为速率参数
• $\Gamma (\alpha )$ 是Gamma函数

一、期望（均值）的计算

$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{\infty }x\cdot f(x)dx$

详细步骤：

1. 代入PDF：

$$\mathbb{E}[X]=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\beta x}dx$$

2. 变量替换 $t=\beta x$，则 $x=t/\beta$，$dx=dt/\beta$：

$${\int }_0^{\infty }{\left(\frac{t}{\beta }\right)}^{\alpha }{e}^{-t}\cdot \frac{dt}{\beta }=\frac{1}{{\beta }^{\alpha +1}}{\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha }{e}^{-t}dt$$

3. 利用Gamma函数定义 $\Gamma (n)={\int }_0^{\infty }{t}^{n-1}{e}^{-t}dt$：

$${\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha }{e}^{-t}dt=\Gamma (\alpha +1)$$

4. 化简得：

$$\mathbb{E}[X]=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\beta }^{\alpha +1}}=\frac{\alpha }{\beta }$$

结论： $\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha }{\beta }$

二、方差的计算

$\text{Var}[X]=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$

步骤1：计算 $\mathbb{E}[X^2]$

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha +1}{e}^{-\beta x}dx$$

1. 变量替换 $t=\beta x$，类似期望计算：

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +2)}{{\beta }^{\alpha +2}}=\frac{\Gamma (\alpha +2)}{\Gamma (\alpha ){\beta }^2}$$

2. 利用Gamma函数性质 $\Gamma (\alpha +2)=(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )$：

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{(\alpha +1)\alpha }{{\beta }^2}$$

步骤2：计算方差

$$\text{Var}[X]=\frac{(\alpha +1)\alpha }{{\beta }^2}-{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$$

结论： $\text{Var}[X]=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$

三、关键公式总结

参数化方式	期望	方差
形状 $\alpha$，速率 $\beta$	$\frac{\alpha }{\beta }$	$\frac{\alpha }{{\beta }^2}$
形状 $k$，尺度 $\theta$	$k\theta$	$k{\theta }^2$

Gamma函数性质：$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ 变量替换技巧：积分时通过 $t=\beta x$ 标准化积分区间。