定义 (Gamma 分布)

若 $X\sim N\left(0,1\right)$, 则

$$X^2\sim \Gamma \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).\text{\hspace{1em}(6.3.3)}$$

一般地,若 $X$ 的分布密度为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}\text{\hspace{1em}(6.3.4)}$$

则称 $X$ 服从参数为 $\alpha >0$ 和 $\lambda >0$ 的 $\Gamma$ 分布, 记为 $X\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda \right)$, R 软件中的分布名为 gamma. 此时

$$E\left[X\right]=\frac{\alpha }{\lambda },\mathrm{Var}\left[X\right]=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}.\text{\hspace{1em}(6.3.5)}$$

Gamma分布期望与方差的计算过程