常见的分位数类型
根据 的取值，分位数有一些常见的名称：
- 中位数 (Median): 时的分位数，。它将数据分为数量相等的两部分。
- 四分位数 (Quartiles):
- 第一四分位数 (Lower Quartile, Q1): 时的分位数，。
- 第三四分位数 (Upper Quartile, Q3): 时的分位数，。
- 四分位数将数据分为数量相等的四部分。Q1, Median (Q2), Q3 是分割点。
- 百分位数 (Percentiles): 将 乘以 100 得到百分比。例如，第 90 百分位数是 时的分位数，。
- 十分位数 (Deciles): 将数据分为十等份的分位数，。
样本分位数的计算
在实际应用中，我们通常处理的是一组有限的样本数据 ，而不是理论上的概率分布。计算样本分位数需要先对数据进行排序，得到有序样本 。
计算样本分位数并没有一个绝对统一的标准，不同的统计软件或库可能采用不同的插值方法 (Interpolation Methods)，尤其是在 不是整数时。
一种最常见的方法是线性插值 (Linear Interpolation)，这也是 NumPy 和 Pandas 库的默认方法。其计算步骤如下 (使用 0-based 索引，即 )：
- 计算索引值：。
- 将 分解为整数部分 和小数部分 。
- 如果 (即 是整数)，则 -分位数就是 。
- 如果 ，则 -分位数通过 和 进行线性插值得到： 也可以写成：
除了线性插值，还有其他方法，如：
lower:higher:nearest: 或 中离 更近的索引对应的点。midpoint:
选择哪种方法取决于具体的应用场景和约定。
Python 实现
Python 中计算分位数主要使用 NumPy 和 Pandas 库。
NumPy
NumPy 提供了 numpy.quantile() 和 numpy.percentile() 函数。percentile 的计算方式与 quantile 相同，只是输入参数为 0-100 的百分数而不是 0-1 的概率。
import numpy as np
# 示例数据
data = np.array([1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 10])
# 计算中位数 (p=0.5)
median = np.quantile(data, 0.5)
print(f"Median (p=0.5): {median}") # 输出: Median (p=0.5): 5.5
# 计算第一和第三四分位数 (Q1: p=0.25, Q3: p=0.75)
q1 = np.quantile(data, 0.25)
q3 = np.quantile(data, 0.75)
print(f"Q1 (p=0.25): {q1}") # 输出: Q1 (p=0.25): 3.25
print(f"Q3 (p=0.75): {q3}") # 输出: Q3 (p=0.75): 7.75
# 同时计算多个分位数
quantiles = np.quantile(data, [0.1, 0.5, 0.9])
print(f"Quantiles (p=0.1, 0.5, 0.9): {quantiles}") # 输出: Quantiles (p=0.1, 0.5, 0.9): [1.9 5.5 9.1]
# 使用不同的插值方法
# 'lower' 插值计算 Q1
q1_lower = np.quantile(data, 0.25, method='lower') # NumPy 1.22 之后使用 'method'，之前使用 'interpolation'
print(f"Q1 (p=0.25, method='lower'): {q1_lower}") # 输出: Q1 (p=0.25, method='lower'): 3
# 解释 Q1 (p=0.25, method='linear') 的计算:
# 排序后数据: [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] (n=10)
# 索引 (0-based): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
# k = p * (n - 1) = 0.25 * (10 - 1) = 0.25 * 9 = 2.25
# i = floor(k) = 2
# f = k - i = 0.25
# q_p = x_(i) + f * (x_(i+1) - x_(i))
# q_0.25 = data[2] + 0.25 * (data[3] - data[2])
# q_0.25 = 3 + 0.25 * (4 - 3) = 3 + 0.25 * 1 = 3.25
# 'lower' 插值: q_p = x_(i) = data[2] = 3numpy.quantile() 主要参数：
a: 输入数组。q: 需要计算的分位数，介于 0 和 1 之间（可以是一个数值或列表/数组）。axis: 计算分位数的轴。默认是在扁平化后的数组上计算。method(NumPy >= 1.22) 或interpolation(NumPy < 1.22): 插值方法，默认为'linear'。可选值包括'lower','higher','midpoint','nearest'。
Pandas
Pandas 的 Series 和 DataFrame 对象也有 quantile() 方法，用法与 NumPy 类似。
Python
import pandas as pd
# 使用 Pandas Series
data_series = pd.Series([1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 10])
# 计算中位数
median_pd = data_series.quantile(0.5)
print(f"Pandas Series Median: {median_pd}") # 输出: Pandas Series Median: 5.5
# 计算 Q1 和 Q3
q1_pd = data_series.quantile(0.25)
q3_pd = data_series.quantile(0.75)
print(f"Pandas Series Q1: {q1_pd}") # 输出: Pandas Series Q1: 3.25
print(f"Pandas Series Q3: {q3_pd}") # 输出: Pandas Series Q3: 7.75
# 使用不同的插值方法
q1_lower_pd = data_series.quantile(0.25, interpolation='lower')
print(f"Pandas Series Q1 (interpolation='lower'): {q1_lower_pd}") # 输出: Pandas Series Q1 (interpolation='lower'): 3
# 使用 Pandas DataFrame
df = pd.DataFrame({'A': [1, 2, 3, 4, 5], 'B': [10, 20, 5, 15, 25]})
print("\nDataFrame:")
print(df)
# 计算每列的 0.5 分位数 (中位数)
median_df = df.quantile(0.5) # 默认 axis=0 (按列计算)
print("\nDataFrame Median (axis=0):")
print(median_df)
# 输出:
# DataFrame Median (axis=0):
# A 3.0
# B 15.0
# Name: 0.5, dtype: float64
# 计算每行的 0.5 分位数 (中位数)
median_df_rows = df.quantile(0.5, axis=1)
print("\nDataFrame Median (axis=1):")
print(median_df_rows)
# 输出:
# DataFrame Median (axis=1):
# 0 5.5
# 1 11.0
# 2 4.0
# 3 9.5
# 4 15.0
# Name: 0.5, dtype: float64
pandas.Series.quantile() / pandas.DataFrame.quantile() 主要参数：
q: 需要计算的分位数，介于 0 和 1 之间（可以是一个数值或列表）。interpolation: 插值方法，默认为'linear'。可选值与 NumPy 类似。axis(仅 DataFrame): 计算分位数的轴，0或'index'（列），1或'columns'（行）。
总结
分位数和分位数函数是理解数据分布特征的重要工具。它们告诉我们数据在特定概率点上的取值。Python 的 NumPy 和 Pandas 库提供了强大而灵活的函数来计算样本分位数，允许我们通过指定不同的插值方法来处理样本数据。掌握分位数的概念和计算方法对于进行有效的数据分析至关重要。