t 分布的期望和方差的计算

设 $X\sim t(n)$，即自由度为 $n$ 的 t 分布。我们来分别计算其期望和方差。

一、期望的计算

1. t 分布的概率密度函数

t 分布的概率密度函数为

$$f(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

2. 期望的存在性与计算

• t 分布关于 $x=0$ 对称，所以若期望存在，则必为 $0$。
• 事实上，只有当 $n>1$ 时，$\mathbb{E}[X]$ 存在且为 $0$，$n\le 1$ 时期望不存在。[2][3][4][5]

结论：

$$\mathbb{E}[X]=0(n>1)$$

二、方差的计算

1. 方差的定义

$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2=\mathbb{E}[X^2]$$

由于 $\mathbb{E}[X]=0$，只需计算 $\mathbb{E}[X^2]$。

2. 利用 F 分布的性质

已知 $X\sim t(n)$，则 $X^2$ 服从自由度为 $(1,n)$ 的 F 分布，即 $X^2\sim F_{1,n}$。[3]

F 分布 $F_{1,n}$ 的期望为

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{n}{n-2},(n>2)$$

3. 方差的存在性

• 只有当 $n>2$ 时，方差才存在。[2][3][5]

结论：

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{n}{n-2}(n>2)$$

三、总结

自由度 $n$	期望 $\mathbb{E}[X]$	方差 $\mathrm{Var}(X)$
$n>1$	$0$	$\frac{n}{n-2}$ ($n>2$)
$1<n\le 2$	$0$	不存在
$n\le 1$	不存在	不存在

参考来源

• [2][3][4][5]

简要说明：t 分布的期望利用对称性直接得出，方差则借助 $t$ 分布与 $F$ 分布的关系推导。积分法和利用特殊函数（如 Beta 函数、Gamma 函数）也可得到同样结论。