2. t 分布

3. 可爱的戈塞特先生

命题 6.3.3 (t分布)

设 $X\sim N\left(0,1\right)$, $Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立,令

$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$

则 $T$ 的分布密度函数 $f_T$ 为

$$f_T\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}.\text{\hspace{1em}(6.3.9)}$$

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命题 6.3.3 的证明也是初等的, 但需稍繁的积分计算

定义 (t分布)

若 $X$ 的分布密度函数如

Transclude of 命题-6.3.3-(t分布)#eq-6-3-9

则称 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布,记为 $t\left(n\right)$ R 软件中的分布名为 $\mathrm{t}$.

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$t\left(n\right)$ 分布的密度函数图形如

图 6.2 t分布密度函数示意图

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它是关于原点对称的. 简单的求极限 可知,当 $n\to \infty$ 时, $t\left(n\right)$ 分布渐近于 $N\left(0,1\right)$. 另外, 经简单积分可知,若 $X\sim t\left(n\right)$, 则

$$E\left[X\right]=0\left(n>1\right),\mathrm{Var}\left[X\right]=\frac{2}{n-2}\left(n>2\right).\text{\hspace{1em}(6.3.10)}$$