t 分布的极限

证明：当 $n\to \infty$ 时，$t(n)$ 分布渐近于 $N(0,1)$

1. $t$ 分布的定义

自由度为 $n$ 的 $t$ 分布可以表示为

$$T_n=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$$

其中 $Z\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且 $Z$ 与 $Y$ 独立。[3][4]

2. 利用大数定律和Slutsky定理

• 由大数定律，$\frac{Y}{n}\stackrel{P}{\to }1$，即当 $n\to \infty$ 时，${\chi }^2(n)/n$ 以概率收敛到 $1$。[3][4]
• 因此，$\sqrt{Y/n}\stackrel{P}{\to }1$。
• $Z\sim N(0,1)$，与 $Y$ 独立。

由 Slutsky 定理，若 $A_n\stackrel{d}{\to }A$，$B_n\stackrel{P}{\to }b$，则 $A_n/B_n\stackrel{d}{\to }A/b$。因此，

$$T_n=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$$

即 $t$ 分布在自由度 $n\to \infty$ 时，趋于标准正态分布。[3][4]

3. 密度函数极限法（严格证明）

$t$ 分布的概率密度函数为

$$f_n(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

分析 $n\to \infty$ 时的极限：

• 利用 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-n/2}=e^{-x^2/2}$$
• 斯特林公式可证 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$$

因此，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

即为标准正态分布的密度函数。[1][4]

4. 直观解释

$t$ 分布的“厚尾”随着自由度 $n$ 增大而变薄，最终与标准正态分布重合。这说明在样本量足够大时，$t$ 检验与正态检验结果一致。[3]

结论：

$$t(n)\stackrel{d}{\to }N(0,1)(n\to \infty )$$

即自由度趋于无穷时，$t$ 分布收敛于标准正态分布。