伽马分布可加性的证明

对于独立随机变量 $X_1\sim \Gamma ({\alpha }_1,\lambda )$ 和 $X_2\sim \Gamma ({\alpha }_2,\lambda )$，其和 $X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$ 的证明可以通过以下两种方法完成：

方法一：矩生成函数法

步骤 1：写出伽马分布的矩生成函数
伽马分布 $\Gamma (\alpha ,\lambda )$ 的矩生成函数为：

$$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }(t<\lambda )$$

步骤 2：计算 $X_1+X_2$ 的矩生成函数
由于 $X_1$ 与 $X_2$ 独立，其和的矩生成函数为各自矩生成函数的乘积：

$$M_{X_1+X_2}(t)=M_{X_1}(t)\cdot M_{X_2}(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{{\alpha }_1}\cdot {\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{{\alpha }_2}={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}$$

步骤 3：识别分布类型
上述结果与 $\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$ 的矩生成函数一致，故：

$$X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$$

方法二：卷积法

步骤 1：写出联合概率密度函数
设 $Z=X_1+X_2$，其概率密度函数为：

$$f_Z(z)={\int }_0^z{f}_{X_1}(x)f_{X_2}(z-x)dx$$

步骤 2：代入伽马分布密度函数
伽马分布密度函数为：

$$f(x;\alpha ,\lambda )=\frac{{\lambda }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}$$

代入后得：

$$f_Z(z)={\int }_0^z\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1}{x}^{{\alpha }_1-1}{e}^{-\lambda x}}{\Gamma ({\alpha }_1)}\cdot \frac{{\lambda }^{{\alpha }_2}(z-x{)}^{{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda (z-x)}}{\Gamma ({\alpha }_2)}dx$$

步骤 3：化简积分
提取公共因子并合并指数项：

$$f_Z(z)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{e}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\int }_0^z{x}^{{\alpha }_1-1}(z-x{)}^{{\alpha }_2-1}dx$$

步骤 4：利用贝塔函数性质
积分项为贝塔函数形式：

$${\int }_0^z{x}^{{\alpha }_1-1}(z-x{)}^{{\alpha }_2-1}dx=z^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}\cdot \frac{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}$$

步骤 5：代入并整理结果
得到：

$$f_Z(z)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}$$

这正是 $\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$ 的密度函数。

结论

无论通过矩生成函数法还是卷积法，均可证明：
若 $X_1\sim \Gamma ({\alpha }_1,\lambda )$ 与 $X_2\sim \Gamma ({\alpha }_2,\lambda )$ 独立，则 $X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$。