1. 卡方分布

在例 2.4.2 中我们提到,

定义 (Gamma 分布)

若 $X\sim N\left(0,1\right)$, 则

$$X^2\sim \Gamma \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).\text{\hspace{1em}(6.3.3)}$$

一般地,若 $X$ 的分布密度为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}\text{\hspace{1em}(6.3.4)}$$

则称 $X$ 服从参数为 $\alpha >0$ 和 $\lambda >0$ 的 $\Gamma$ 分布, 记为 $X\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda \right)$, R 软件中的分布名为 gamma. 此时

$$E\left[X\right]=\frac{\alpha }{\lambda },\mathrm{Var}\left[X\right]=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}.\text{\hspace{1em}(6.3.5)}$$

Gamma分布期望与方差的计算过程

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利用 3.4 节给出的 独立 随机变量和的分布密度的卷积公式 (3.4.5), 经简单推导可得 $\Gamma$ 分布的可加性, 即若

• $X_1\sim \Gamma \left({\alpha }_1,\lambda \right)$, $X_2\sim \Gamma \left({\alpha }_2,\lambda \right)$,
• 且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立,

则

$$X_1+X_2\sim \Gamma \left({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda \right).\text{\hspace{1em}(6.3.6)}$$

由式 (6.3.3) 和式 (6.3.6) 我们得到命题 6.3.2.

命题 6.3.2 (Gamma 分布的样本和)

设总体 $X\sim N\left(0,1\right)$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其简单随机样本, 则

$$X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\sim \Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right).\text{\hspace{1em}(6.3.7)}$$Link to original

在数理统计中,

定义 (卡方分布)

若 $X\sim \Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$, 则称 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布, 记为 $X\sim {\chi }^2\left(n\right)$, R 软件中的分布名为 chisq, 其分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^n\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{\mathrm{e}}^{-x/2},& x>0;\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}\text{\hspace{1em}(6.3.8)}$$

图 6.1 卡方分布密度函数示意图

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卡方分布性质

由式 (6.3.5) 和式 (6.3.6) 容易看出 ${\chi }^2$ 分布具有如下性质:

1. 若 $X\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 则
   • $E\left[X\right]=n,\mathrm{Var}\left[X\right]=2n$.
2. 若 $X_1\sim {\chi }^2\left(n_1\right),X_2\sim {\chi }^2\left(n_2\right)$, 则
   • $X_1+X_2\sim {\chi }^2\left(n_1+n_2\right)$.
3. 若 $X\sim {\chi }^2\left(n\right)$ 分布, 则当 $n$ 趋于无穷时, $\left(X-n\right)/\sqrt{2n}$ 近似地服从 $N\left(0,1\right)$.
   • 利用命题 6.3.2 和中心极限定理 (定理 5.2.1) 容易看出
   • python 展示标准化的卡方分布的中心极限

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