分位数 vs 分布函数

分位数和分布函数（累积分布函数，CDF）之间有着紧密的数学联系。要理解它们的关系，需先明晰各自的定义。

1. 分布函数（CDF）的定义

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则

$$F(x)=P(X\le x)$$

即，$F(x)$ 表示随机变量 $X$ 取值小于等于 $x$ 的概率。

2. 分位数的定义

对于 $0<\alpha <1$，下 $\alpha$ 分位数 $x_{\alpha }$ 定义为满足

$$F(x_{\alpha })=P(X\le x_{\alpha })=\alpha$$

的实数 $x_{\alpha }$。

直观上，$x_{\alpha }$ 把分布“切分”为左侧概率为 (\alpha)，右侧概率为 (1-\alpha) 的两个部分。例如，$\alpha =0.5$ 时，$x_{0.5}$ 就是中位数。

3. 分位数函数与分布函数的反函数关系

• 分位数函数 $Q(\alpha )$ 是分布函数 $F(x)$ 的广义反函数：

  $$Q(\alpha )=\inf \{x:F(x)\ge \alpha \}$$

  也就是说，给定一个概率 (\alpha)，分位数函数返回使得“左侧概率不少于 (\alpha)”的最小 $x$。

• 对于连续且严格单调的分布函数，分位数函数就是 $F(x)$ 的反函数：

  $$Q(\alpha )=F^{-1}(\alpha )$$

  即

  $$F(Q(\alpha ))=\alpha$$

  反之

  $$Q(F(x))=x$$

  这种情况下，分位数和分布函数是一一对应的[5][6][7]。

4. 例子

• 标准正态分布 $X\sim N(0,1)$，分布函数记为 $\Phi (x)$。
  • 下 (\alpha) 分位数 $u_{\alpha }$ 满足 $\Phi (u_{\alpha })=\alpha$。
  • 例如，$\Phi (0)=0.5$，所以中位数为 0。

5. 总结关系

• 分布函数 $F(x)$：已知 $x$，求概率 $P(X\le x)$。
• 分位数函数 $Q(\alpha )$：已知概率 $\alpha$，求阈值 $x$ 使 $P(X\le x)=\alpha$。

二者互为反函数（在连续严格单调情形下），分位数本质上就是分布函数的反解。

直观理解

• 分布函数：固定 $x$，看有多少概率落在左侧。
• 分位数：固定概率 (\alpha)，找对应的 $x$。

常用分位数举例：

• 中位数（50%分位数）：$F(x_{0.5})=0.5$
• 第一四分位数（25%分位数）：$F(x_{0.25})=0.25$
• 第三四分位数（75%分位数）：$F(x_{0.75})=0.75$。