卡方分布的期望和方差的计算过程

设 $X \sim χ^{2} (k)$ ，即 $X$ 是 $k$ 个独立标准正态随机变量 $Z_{1}, \dots, Z_{k}$ 的平方和：

X = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + \dots + Z_{k}^{2}

其中 $Z_{i} \sim N (0, 1)$ 且相互独立。

由于期望的线性性，有

E [X] = E [Z_{1}^{2} + \dots + Z_{k}^{2}] = E [Z_{1}^{2}] + \dots + E [Z_{k}^{2}]

对于 $Z_{i} \sim N (0, 1)$ ，有

E [Z_{i}^{2}] = Var (Z_{i}) + (E [Z_{i}])^{2} = 1 + 0 = 1

所以

E [X] = k \times 1 = k

即自由度为 $k$ 的卡方分布的期望为 $k$ 。[1][4]

由于 $Z_{1}, \dots, Z_{k}$ 独立，平方和的方差为各自方差之和：

Var (X) = Var (Z_{1}^{2} + \dots + Z_{k}^{2}) = Var (Z_{1}^{2}) + \dots + Var (Z_{k}^{2})

计算 $Z_{i}^{2}$ 的方差：

Var (Z_{i}^{2}) = E [Z_{i}^{4}] - (E [Z_{i}^{2}])^{2}

已知 $Z_{i} \sim N (0, 1)$ ，有

因此

Var (Z_{i}^{2}) = 3 - 1^{2} = 2

所以

Var (X) = k \times 2 = 2 k

即自由度为 $k$ 的卡方分布的方差为 $2 k$ 。[2][4]

这两个性质是卡方分布的基本特征，常用于统计推断和假设检验的相关计算。

Youliang Zhong