命题 6.3.4 (F分布)

若 $X\sim {\chi }^2\left(m\right)$, $Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 独立. 令

$$Z=\frac{X/m}{Y/n}$$

则 $Z$ 的分布密度函数为

$$f_Z\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{m}^{m/2}{n}^{n/2}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{{\left(mx+n\right)}^{\left(m+n\right)/2}},& x>0.\\ 0,& x\le 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.3.11)}$$