命题 6.3.4 证明

计算：$Z=\frac{X/m}{Y/n}$ 的分布密度函数

设 $X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立。令

$$Z=\frac{X/m}{Y/n}$$

要求 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(x)$。

1. $Z$ 的分布类型

$Z$ 的形式正是F分布的定义：若 $X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，独立，则

$$F=\frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n)$$

即 $Z\sim F(m,n)$。

2. F分布的密度函数

自由度为 $m,n$ 的 F 分布密度函数为

$$f_Z(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2}\frac{x^{m/2-1}}{{\left(1+\frac{m}{n}x\right)}^{(m+n)/2}},x>0$$

3. 推导过程

步骤一：写出 $X$ 和 $Y$ 的密度函数

• $X\sim {\chi }^2(m)$，密度为 $$f_X(x)=\frac{1}{2^{m/2}\Gamma (m/2)}{x}^{m/2-1}{e}^{-x/2},x>0$$
• $Y\sim {\chi }^2(n)$，密度为 $$f_Y(y)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{y}^{n/2-1}{e}^{-y/2},y>0$$

步骤二：联合密度与变量变换

设 $Z=\frac{X/m}{Y/n}$，$W=Y$，则 $X=ZmW/n$，$Y=W$。

Jacobian 行列式为

$$\left|\frac{\partial (X,Y)}{\partial (Z,W)}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial X}{\partial Z}& \frac{\partial X}{\partial W}\\ \frac{\partial Y}{\partial Z}& \frac{\partial Y}{\partial W}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}mW/n& mZ/n\\ 0& 1\end{array}\right|=\frac{mW}{n}$$

联合密度变为

$$f_{Z,W}(z,w)=f_X\left(\frac{mzw}{n}\right)f_Y(w)\cdot \frac{mw}{n}$$

步骤三：积分消去 $w$

$Z>0,W>0$，对 $w$ 积分得边缘密度：

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_0^{\infty }{f}_X\left(\frac{mzw}{n}\right)f_Y(w)\cdot \frac{mw}{n}dw\\ & ={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2^{m/2}\Gamma (m/2)}{\left(\frac{mzw}{n}\right)}^{m/2-1}{e}^{-\frac{mzw}{2n}}\cdot \frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{w}^{n/2-1}{e}^{-w/2}\cdot \frac{mw}{n}dw\\ & =\frac{1}{2^{(m+n)/2}\Gamma (m/2)\Gamma (n/2)}\cdot \frac{m}{n}{\int }_0^{\infty }(mzw/n{)}^{m/2-1}{w}^{n/2-1}w{e}^{-\frac{mzw}{2n}}{e}^{-w/2}dw\\ & =C\cdot z^{m/2-1}{\int }_0^{\infty }{w}^{(m+n)/2-1}{e}^{-w\left(\frac{mz}{2n}+\frac{1}{2}\right)}dw\end{array}$$

其中 $C=\frac{1}{2^{(m+n)/2}\Gamma (m/2)\Gamma (n/2)}\cdot \frac{m}{n}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2-1}$。

步骤四：利用伽马积分

$${\int }_0^{\infty }{w}^{a-1}{e}^{-bw}dw=\frac{\Gamma (a)}{b^a}$$

令 $a=\frac{m+n}{2}$，$b=\frac{mz}{2n}+\frac{1}{2}=\frac{mz+n}{2n}$

$$f_Z(z)=C\cdot z^{m/2-1}\cdot \frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{{\left(\frac{mz+n}{2n}\right)}^{(m+n)/2}}$$

化简常数项，最终得：

$$f_Z(z)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{m}^{m/2}{n}^{n/2}\frac{z^{m/2-1}}{(mz+n{)}^{(m+n)/2}},z>0$$

4. 总结

因此，$Z=\frac{X/m}{Y/n}$ 的概率密度函数为

$$f_Z(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{m}^{m/2}{n}^{n/2}\frac{x^{m/2-1}}{(mx+n{)}^{(m+n)/2}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

这正是 F 分布 $F(m,n)$ 的密度函数。