例 7.1.1 (矩法估计不及格品率)

试用参数的矩法估计, 估计一批某种产品的不合格品率.

解

由于一件产品要么为合格品要么为不合格品, 所以此时总体 $X\sim B\left(1,p\right)$,

• 抽到不合格品时 $X$ 取值为 1,
• 否则取值为 0.
• 即不合格品率 $p=P\left(X=1\right)$.

现设我们通过抽取, 得到了样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$. 由于 $E\left[X\right]=p$, 则由矩法估计的想法, 就该用样本均值 $\bar{X}$ 来估计 $p$, 亦即 ${\hat{p}}_M=\bar{X}$. 也就是说,如果我们抽取了 100 件产品, 发现其中恰有 3 件不合格品, 则认为该批产品的不合格品率为 $3\%$.