例 7.1.4 (矩法估计参数)

设总体 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x,\theta \right)=\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|},-\infty <x<\infty ,\theta >0.$$

试求 $\theta$ 的矩法估计.

解

先求 $E\left[X\right]$, 看看它与参数 $\theta$ 的关系. 由于

$$E\left[X\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x=0$$

与参数 $\theta$ 无关, 我们想到试算 $E\left[\left|X\right|\right]$. 由于

$$\begin{array}{rl}E\left[|X|\right]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|\frac{\theta }{2}{e}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\infty }x\theta e^{-\theta x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\theta }.\end{array}$$

即 $\theta =\frac{1}{E\left[|X|\right]}$, 从而, 依矩法估计, 应有

$${\hat{\theta }}_M=\frac{1}{\overline{|X|}}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\left|X_i\right|}.$$

Bug

课本中使用 $|\bar{X}|$ 表示的是 $|{\sum }_i{X}_i|$。

其他解

还可由

$$E\left[X^2\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x={\int }_0^{\infty }{x}^2\theta {\mathrm{e}}^{-\theta x}\mathrm{d}x=\frac{2}{{\theta }^2}$$

得到 $\theta$ 的另外一个矩法估计量为 $\sqrt{2n/\sum _{i=1}^n{X}_i^2}$.