3. 方差的区间估计 (已知期望)

此时由 $X\sim N\left({\mu }_0,{\sigma }^2\right)$ 知,

$$\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\sim N\left(0,1\right),i=1,2,\cdots ,n,$$

所以

$$\sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)$$

再令

$$P\left({\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)\le \sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 ${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 和 ${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)},\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.7)}$$

例 7.3.3 已知某厂生产的零件尺寸 $X\sim N\left(12.5,{\sigma }^2\right)$. 从某天生产的零件中随机地抽取 4 只, 测得样本观测值

$\begin{array}{llll}12.6& 13.4& 12.8& 13.2\end{array}$

试求 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解 由

$$\sum _{i=1}^n{\left(x_i-{\mu }_0\right)}^2={\left(12.6-12.5\right)}^2+{\left(13.4-12.5\right)}^2+{\left(12.8-12.5\right)}^2+{\left(13.2-12.5\right)}^2=1.4,$$

和 $\alpha =0.05$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 ${\chi }_{0.975}^2\left(4\right)=11.14329$ 和 ${\chi }_{0.025}^2\left(4\right)=$ 0.4844186,用 (7.3.7) 得到 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.95 的区间估计 $\left[0.13,2.89\right]$.

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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x←c(12.6,13.4,12.8,13.2)

mu0<-12.5

	alpha<-0.05

		n<-length(x)

				z1<-sum((x-mu0)^2)

						list(c.i=c(z1/qchisq(1-alpha/2, n), z1/qchisq(alpha/2, n)))

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