7.3.1 单个正态总体参数的区间估计

以关于正态总体的抽样基本定理及其推论 (见 6.3 抽样分布) 作基础, 可求出该总体有关统计量或样本函数的精确分布, 从而使得正态总体参数的区间估计很容易得到.

• 1. 期望的区间估计 (已知方差)
• 2. 期望的区间估计 (未知方差)
• 3. 方差的区间估计 (已知期望)
• 4. 方差的区间估计 (未知期望)

表 7.1 (一个总体)

总体数目	待估计参数	用到的样本函数及其分布	区间估计
一个总体	$\mu ({\sigma }^2={\sigma }_0^2\text{已知})$	$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }_0^2/n}}\sim N(0,1)$	$\left[\bar{X}\pm u_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right]$
$X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$	$\mu ({\sigma }^2\text{未知})$	$\frac{\bar{X}-\mu }{S_n/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$	$\left[\bar{X}\pm t_{1-\alpha /2}(n-1)\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right]$
$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$	${\sigma }^2(\mu ={\mu }_0\text{已知})$	${\sum }_{i=1}^n\frac{(X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n)$	$\left[\frac{\sum (X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)},\frac{\sum (X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)}\right]$
$S_n^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$	${\sigma }^2(\mu \text{未知})$	$\frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$	$\left[\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)},\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}\right]$

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序号	区间估计对象	已知条件	置信区间公式	使用分布	统计量	备注
1	期望	方差已知	$\bar{X}\pm Z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	正态分布	样本均值	$Z_{\alpha /2}$为标准正态分布
2	期望	方差未知	$\bar{X}\pm t_{n-1,\alpha /2}\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$	t分布	样本均值、样本方差	$t_{n-1,\alpha /2}$为t分布
3	方差	期望已知	$\left(\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{n,\alpha /2}^2},\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{n,1-\alpha /2}^2}\right)$	卡方分布	已知均值下的样本平方和	${\chi }_{n,p}^2$为自由度n的卡方分布
4	方差	期望未知	$\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{n-1,\alpha /2}^2},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{n-1,1-\alpha /2}^2}\right)$	卡方分布	样本方差	$S^2$ 为样本方差