4. 方差的区间估计 (未知期望)

此时由抽样分布基本定理 (见定理 6.3.1) 知

$$\frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$$

经令

$$P\left({\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\le \frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 ${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$ 和 ${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)},\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.8)}$$

请读者用例 7.3.3 的数据,但 $\mu$ 未知,求 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.95 的区间估计.