1. 期望差的区间估计 (已知期望)

由于

• $\bar{X}\sim N\left({\mu }_1,\frac{{\sigma }_1^2}{m}\right)$,
• $\bar{Y}\sim N\left({\mu }_2,\frac{{\sigma }_2^2}{n}\right)$,
• $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 独立 (因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立),

于是有

$$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}\right),$$

亦即

$$\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right),$$

由此令

$$P\left(\left|\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$ 并作等式变形立得 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的区间估计

$$\left[\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}},\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.9)}$$

• 3.4
• 3.6