例 7.3.4 两类滚珠直径 (未知方差 相同)

两台机床生产同一型号的滚珠, 从甲机床和乙机床生产的滚珠中分别抽取 8 个和 9 个, 测得滚珠直径如下 (单位: mm)

甲机床	15.0	14.8	15.2	15.4	14.9	15.1	15.2	14.8
乙机床	15.2	15.0	14.8	15.1	15.0	14.6	14.8	15.1	14.5

已知两台机床生产的滚珠的直径都服从正态分布, 试求这两台机床生产的滚珠直径均值差的区间估计, 置信度为 0.90.

1. 已知甲、乙机床生产的滚珠直径的标准差分别为 ${\sigma }_1$ = 0.18 mm 及 ${\sigma }_2$ =0.24 mm.
2. ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 未知, 但知 ${\sigma }_1={\sigma }_2$.

解

设甲、乙机床生产的滚珠直径分别为 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)$ 和 $Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$, 由题意, $X$ 与 $Y$ 相互独立, $m=8,n=9$. 经计算得

$$\bar{x}=15.05,\bar{y}=14.90,s_{1m}^2=0.0457,s_{2n}^2=0.0575.$$

(1)

$\alpha =0.10$, 查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $u_{0.95}=1.645$, 用

Transclude of 1.-期望差的区间估计-(已知期望)#eq-7-3-9

得到 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信度为 0.90 的区间估计 $\left[-0.018,0.318\right]$.

(2)

$\alpha =0.10$, 查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $t_{0.95}\left(15\right)=1.75305$, 用

Transclude of 2.-期望差的区间估计-(未知方差-相同)#eq-7-3-10

得到 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信度为 0.90 的区间估计 $\left[-0.044,0.344\right]$.

代码

import numpy as np
from scipy.stats import norm, t
 
# 定义数据向量 x
x = np.array([15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8])
print(f"样本数据 x: {x}")
 
# 定义数据向量 y
y = np.array([15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 15.0, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5])
print(f"样本数据 y: {y}")
 
# 定义已知的总体标准差 sigma1 和 sigma2
sigma1 = 0.18
sigma2 = 0.24
print(f"已知总体标准差 sigma1: {sigma1}")
print(f"已知总体标准差 sigma2: {sigma2}")
 
# 定义显著性水平 alpha
alpha = 0.10
print(f"显著性水平 alpha: {alpha}")
 
# 计算样本大小 n1 和 n2
n1 = len(x)
n2 = len(y)
print(f"样本大小 n1: {n1}")
print(f"样本大小 n2: {n2}")
 
# --- 第一种置信区间计算 (已知总体标准差) ---
# 计算样本均值差 z1
z1_mean_diff = np.mean(x) - np.mean(y)
print(f"样本均值差 (mean(x) - mean(y)): {z1_mean_diff:.4f}")
 
# 计算标准误差 z2
standard_error_known_sigma = np.sqrt(sigma1**2 / n1 + sigma2**2 / n2)
print(f"标准误差 (已知 sigma): {standard_error_known_sigma:.4f}")
 
# 计算正态分布的临界值
z_critical = norm.ppf(1 - alpha / 2)
print(f"正态分布临界值 (z with alpha/2): {z_critical:.4f}")
 
# 计算第一种置信区间
margin_of_error_known_sigma = z_critical * standard_error_known_sigma
confidence_interval_known_sigma = [z1_mean_diff - margin_of_error_known_sigma,
                                    z1_mean_diff + margin_of_error_known_sigma]
 
# 输出第一种置信区间
print("\n均值差的置信区间 (90%，已知总体标准差):")
print(f"  下界: {confidence_interval_known_sigma[0]:.4f}")
print(f"  上界: {confidence_interval_known_sigma[1]:.4f}")
print(f"  表示为区间: [{confidence_interval_known_sigma[0]:.4f}, {confidence_interval_known_sigma[1]:.4f}]")
 
# --- 第二种置信区间计算 (未知总体标准差，假设方差相等) ---
# 计算合并方差
pooled_variance = ((n1 - 1) * np.var(x, ddof=1) + (n2 - 1) * np.var(y, ddof=1)) / (n1 + n2 - 2)
print(f"\n合并方差: {pooled_variance:.4f}")
 
# 计算标准误差 z3
standard_error_pooled_variance = np.sqrt((1 / n1 + 1 / n2) * pooled_variance)
print(f"标准误差 (合并方差): {standard_error_pooled_variance:.4f}")
 
# 计算 t 分布的临界值
degrees_of_freedom = n1 + n2 - 2
t_critical = t.ppf(1 - alpha / 2, degrees_of_freedom)
print(f"t 分布临界值 (t with alpha/2, df={degrees_of_freedom}): {t_critical:.4f}")
 
# 计算第二种置信区间
margin_of_error_pooled_variance = t_critical * standard_error_pooled_variance
confidence_interval_pooled_variance = [z1_mean_diff - margin_of_error_pooled_variance,
                                       z1_mean_diff + margin_of_error_pooled_variance]
 
# 输出第二种置信区间
print("\n均值差的置信区间 (90%，未知总体标准差，等方差假设):")
print(f"  下界: {confidence_interval_pooled_variance[0]:.4f}")
print(f"  上界: {confidence_interval_pooled_variance[1]:.4f}")
print(f"  表示为区间: [{confidence_interval_pooled_variance[0]:.4f}, {confidence_interval_pooled_variance[1]:.4f}]")

本数据 x: [15.  14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8]  
样本数据 y: [15.2 15.  14.8 15.1 15.  14.6 14.8 15.1 14.5]  
已知总体标准差 sigma1: 0.18  
已知总体标准差 sigma2: 0.24  
显著性水平 alpha: 0.1  
样本大小 n1: 8  
样本大小 n2: 9  
样本均值差 (mean(x) - mean(y)): 0.1500  
标准误差 (已知 sigma): 0.1022  
正态分布临界值 (z with alpha/2): 1.6449  
  
均值差的置信区间 (90%，已知总体标准差):  
 下界: -0.0181  
 上界: 0.3181  
 表示为区间: [-0.0181, 0.3181]  
  
合并方差: 0.0520  
标准误差 (合并方差): 0.1108  
t 分布临界值 (t with alpha/2, df=15): 1.7531  
  
均值差的置信区间 (90%，未知总体标准差，等方差假设):  
 下界: -0.0442  
 上界: 0.3442  
 表示为区间: [-0.0442, 0.3442]