2. 期望差的区间估计 (未知相同方差)

由 推论 6.3.4 (两正态总体均值差的t分布检验统计量) 知

$$\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t\left(m+n-2\right),$$

由此令

$$P\left(\left|\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\right|\le t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 $t_{1-\frac{\alpha }{2}}$ 并作等式变形立得 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的区间估计

$$\begin{array}{r}\left[\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}},\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)+t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(7.3.10)}$$

其中 $S_w=\sqrt{\frac{m{S}_{1m}^2+n{S}_{2n}^2}{m+n-2}}$.

例 7.3.4 (两类滚珠直径)