推论 6.3.4 (两正态总体均值差的t分布检验统计量)

推论 6.3.4 (两正态总体均值差的t分布检验统计量)

Transclude of 推论-6.3.3-(两个正态总体方差比的F分布性质)#list

若 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$, 则

$$\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t\left(m+n-2\right),\text{\hspace{1em}(6.3.16)}$$

其中 $S_w=\sqrt{\frac{m{S}_{1m}^2+n{S}_{2n}^2}{m+n-2}}$.

\frac{\left( {\bar{X} - \bar{Y}}\right) - \left( {{\mu }_{1} - {\mu }_{2}}\right) }{{S}_{w}\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \sim t\left( {m + n - 2}\right), \tag{6.3.16}

合并方差

$S_w^2$ 是合并样本方差 (Pooled Sample Variance)，定义为： $S_w^2=\frac{(m-1){S_1^{\ast }}^2+(n-1){S_2^{\ast }}^2}{m+n-2}$ 这里 ${S_1^{\ast }}^2=\frac{1}{m-1}{\sum }_{i=1}^m(X_i-\bar{X}{)}^2$ 和 ${S_2^{\ast }}^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{j=1}^n(Y_j-\bar{Y}{)}^2$ 是各自的无偏样本方差。

证明思路

利用 t 分布的定义。一个自由度为 $k$ 的 t 随机变量可以表示为 $T=\frac{Z}{\sqrt{V/k}}$，其中：

1. $Z$ 是一个标准正态随机变量，$Z\sim N(0,1)$。
2. $V$ 是一个自由度为 $k$ 的卡方随机变量，$V\sim {\chi }^2(k)$。
3. $Z$ 和 $V$ 相互独立。

我们需要将目标统计量 $T$ 构造成上述形式，并找出对应的 $Z,V,k$，然后证明它们满足条件。

证明步骤

1. 构造标准正态部分 (Z):

   • 考虑样本均值之差 $\bar{X}-\bar{Y}$。
   • 由于 $X_i\sim N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，我们知道 $\bar{X}\sim N({\mu }_1,{\sigma }^2/m)$。
   • 由于 $Y_j\sim N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，我们知道 $\bar{Y}\sim N({\mu }_2,{\sigma }^2/n)$。
   • 因为两样本独立，所以 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 独立。
   • 独立正态变量的线性组合仍服从正态分布： $\bar{X}-\bar{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,Var(\bar{X})+Var(\bar{Y}))$ $\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{m}+\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ $\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }^2\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\right)$
   • 将其标准化，得到标准正态变量 Z： $Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{Var(\bar{X}-\bar{Y})}}=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\sigma }^2(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})}}=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$
   • 因此，我们找到了满足 $Z\sim N(0,1)$ 的部分。

2. 构造卡方部分 (V) 并确定自由度 (k):

   • 我们知道，对于来自正态总体的样本，样本方差与总体方差的关系如下： $\frac{(m-1)S_1^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1)$ $\frac{(n-1)S_2^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
   • 由于两样本独立，所以 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 独立，进而上述两个卡方变量也独立。
   • 独立卡方变量的和服从卡方分布，自由度为各自自由度之和。定义 $V$ 为它们的和： $V=\frac{(m-1)S_1^2}{{\sigma }^2}+\frac{(n-1)S_2^2}{{\sigma }^2}=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{{\sigma }^2}$
   • 该变量 $V$ 服从自由度为 $(m-1)+(n-1)=m+n-2$ 的卡方分布。 $V\sim {\chi }^2(m+n-2)$
   • 注意到 $V$ 的分子恰好与 $S_w^2$ 的定义相关：$(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2=(m+n-2)S_w^2$。
   • 因此，我们可以将 $V$ 写为： $V=\frac{(m+n-2)S_w^2}{{\sigma }^2}$
   • 我们找到了 $V\sim {\chi }^2(k)$，其中 $k=m+n-2$。

3. 证明 Z 和 V 的独立性：

   • 对于从正态总体抽取的单个样本，样本均值和样本方差是相互独立的。即 $\bar{X}$ 独立于 $S_1^2$，$\bar{Y}$ 独立于 $S_2^2$。
   • 由于两个样本是相互独立的，因此 $\bar{X},\bar{Y},S_1^2,S_2^2$ 这四个统计量是相互独立的（除了均值与各自方差的独立性外，不同样本的统计量之间也独立）。
   • $Z$ 是 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 的函数。
   • $V$ 是 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 的函数 (通过 $S_w^2$)。
   • 因为构成 Z 的变量 ($\bar{X},\bar{Y}$) 与构成 V 的变量 ($S_1^2,S_2^2$) 相互独立，所以 $Z$ 和 $V$ 相互独立。

4. 组合 Z 和 V 形成 t 统计量：

   • 根据 t 分布的定义 $T=\frac{Z}{\sqrt{V/k}}$，代入我们找到的 $Z,V,k$： $T=\frac{\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}}{\sqrt{\frac{(m+n-2)S_w^2/{\sigma }^2}{m+n-2}}}$
   • 简化分母： $\sqrt{\frac{(m+n-2)S_w^2/{\sigma }^2}{m+n-2}}=\sqrt{\frac{S_w^2}{{\sigma }^2}}=\frac{S_w}{\sigma }$ (这里 $S_w=\sqrt{S_w^2}$ 取正平方根)
   • 将简化的分母代回 T 的表达式： $T=\frac{\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}}{S_w/\sigma }$
   • 约去 $\sigma$： $T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$
   • 这正是我们要证明其分布的统计量。