例 7.1.2 (矩法估计袋装重量)

长期的生产经验告诉我们, 水泥厂成品打包机装袋的重量服从正态分布, 试用矩法估计来估计一台打包机装袋的重量的均值和标准差.

解 设装袋的重量为 $X$,样本为 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$,由题设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 和 $E\left[X\right]=\mu ,\mathrm{Var}\left[X\right]={\sigma }^2$,即

$$\{\begin{array}{ll}\mu & =E\left[X\right],\\ {\sigma }^2& =E\left[X^2\right]-{\left(E\left[X\right]\right)}^2.\end{array}$$

从而, 依矩法估计, 应有

$$\{\begin{array}{ll}{\hat{\mu }}_M& =\bar{X},\\ {\widehat{{\sigma }^2}}_M& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}^2-{\left(\bar{X}\right)}^2.\end{array}$$

由于 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\left(\bar{X}\right)}^2=S_n^2$,所以

$$\{\begin{array}{l}{\hat{\mu }}_M=\bar{X},\\ {\hat{\sigma }}_M=S_n.\end{array}$$