例 7.1.3 (矩法估计左右端点)

设总体在某一区间上均匀取值, 试用矩法估计该区间的左、右端点.

解

由题意设 $X\sim U\left[a,b\right]$, 则 $E\left[X\right]=\frac{a+b}{2},\mathrm{Var}\left[X\right]=\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12},$ 即

$$\{\begin{array}{l}a=E\left[X\right]-\sqrt{3\mathrm{Var}\left[X\right]},\\ b=E\left[X\right]+\sqrt{3\mathrm{Var}\left[X\right]}.\end{array}$$

从而,依矩法估计, 应有 (从此二元一次方程解出 $a$ 和 $b$,并用 $\bar{X}$ 代替 $E\left[X\right]$,用 $S_n^2$ 代替 $\mathrm{Var}\left[X\right]$,再用 ${\hat{a}}_M$ 代替 $a$,用 ${\hat{b}}_M$ 代替 $b$ )

$$\{\begin{array}{l}{\hat{a}}_M=\bar{X}-\sqrt{3}{S}_n,\\ {\hat{b}}_M=\bar{X}+\sqrt{3}{S}_n.\end{array}$$