例 7.1.4 (矩法估计参数)

设总体 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x,\theta \right)=\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|},-\infty <x<\infty ,\theta >0.$$

试求 $\theta$ 的矩法估计.

解 先求 $E\left[X\right]$,看看它与参数 $\theta$ 的关系. 由于

$$E\left[X\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x=0$$

与参数 $\theta$ 无关,我们想到试算 $E\left[\left|X\right|\right]$. 由于

$$E\left[\left|X\right|\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }\left|x\right|\frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{-\theta |x|}\mathrm{d}x={\int }_0^{\infty }x\theta {\mathrm{e}}^{-\theta x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\theta },$$

即 $\theta =\frac{1}{E\left[|X|\right]}$,从而,依矩法估计,应有

$${\hat{\theta }}_M=\frac{1}{\left|\bar{X}\right|}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\left|X_i\right|}.$$