例 7.2.1 (例 7.1.7 续)

设总体 $X\sim U\left[0,\theta \right]$. 在例 7.1.7 中我们得到, ${\hat{\theta }}_M=$ $2\bar{X},{\hat{\theta }}_L=X_{\left(n\right)}$. 试问这两个估计量是否为无偏估计量.

解 由于

$$E_{\theta }\left[{\hat{\theta }}_M\right]=E_{\theta }\left[2\bar{X}\right]=\frac{2}{n}\left\{E_{\theta }\left[X_1\right]+E_{\theta }\left[X_2\right]+\cdots +E_{\theta }\left[X_n\right]\right\}=\frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta }{2}=\theta ,$$

所以, ${\hat{\theta }}_M=2\bar{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量.

为计算 $E_{\theta }\left[{\hat{\theta }}_L\right]$,我们先求 $X_{\left(n\right)}$ 的分布密度函数. 由于

$$F_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{x}{\theta },& 0\le x<\theta ,\\ 1,& x\ge \theta ,\end{array}$$

所以, 利用 (6.3.19) 有

$$f_{X_{\left(n\right)}}\left(x\right)=\{\begin{array}{lll}n{\left(\frac{x}{\theta }\right)}^{n-1}& \frac{1}{\theta },& 0\le x<\theta ,\\ 0,& & \text{ 其他. }\end{array}$$

从而

$$E_{\theta }\left[{\hat{\theta }}_L\right]=E_{\theta }\left[X_{\left(n\right)}\right]={\int }_0^{\theta }xn\frac{x^{n-1}}{{\theta }^n}\mathrm{d}x=\frac{n}{{\theta }^n}\frac{{\theta }^{n+1}}{n+1}=\frac{n}{n+1}\theta ,$$

所以 ${\hat{\theta }}_L=X_{\left(n\right)}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计量,只是 $\theta$ 的渐近无偏估计量.