例 7.3.1 (滚珠直径)

已知某厂生产的滚珠直径 $X\sim N\left(\mu ,0.06\right)$. 从某天生产的滚珠中随机地抽取 6 只, 测得直径为 (单位: mm)

$\begin{array}{llllll}14.6& 15.1& 14.9& 14.8& 15.2& 15.1\end{array}$

试求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解 由于

$$\bar{x}=\frac{1}{6}\left(14.6+15.1+14.9+14.8+15.2+15.1\right)=14.95,$$

$\sigma =\sqrt{0.06},\alpha =0.05$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $u_{0.975}=1.96$,用 (7.3.5) 得到 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计 [14.754, 15.146].

另外,请读者执行如下 python 程序,看有什么结果.

import numpy as np
from scipy.stats import norm
 
# 定义数据向量 x
x = np.array([14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1])
 
# 定义标准差 sigma
sigma = np.sqrt(0.06)
 
# 定义显著性水平 alpha
alpha = 0.05
 
# 计算样本均值的负值 z1
z1 = -np.mean(x)
 
# 计算置信区间的边界值 z2
z2 = norm.ppf(1 - alpha / 2) * sigma / np.sqrt(len(x))
 
# 计算置信区间并以列表形式返回
confidence_interval = [z1 - z2, z1 + z2]
 
# 输出置信区间
print({"c.i": confidence_interval})