1. 期望的区间估计 (已知方差)

引入 期望的区间估计 (已知方差)

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$, 参数

• $\mu$ 未知,
• ${\sigma }_0^2$ 已知.

$\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本 我们来寻求 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计.

由

Transclude of 推论-6.3.1-(正态分布样本的均值与方差)#eq-6-3-12

得

$$U=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right).\text{\hspace{1em}(7.3.2)}$$

图 6.4 N(0,1) 分布分位点示意图

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由

$$P\left(\left|U\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha ,\text{\hspace{1em}(7.3.3)}$$

查标准正态分布表 (或用 $\mathrm{R}$ 软件的 $\mathfrak{q}$ norm $\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)$, 得 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$ (例如 $u_{0.975}=1.96$ ), 亦即

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha \text{\hspace{1em}(7.3.4)}$$

$$P\left(\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\le \mu \le \bar{X}+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right)=1-\alpha .$$

至此, 我们得到 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计为

$$\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.5)}$$

总结一下, 我们是如何得到 $\mu$ 的区间估计的.

期望的区间估计 (已知方差) 计算步骤

1. 首先我们得到了

   Transclude of 1.-期望的区间估计-(已知方差)#eq-7-3-2

   即得到了仅含待估计参数、不含其他未知参数的一个样本函数, 并且求得了它的分布.
2. 其次是利用

   Transclude of 1.-期望的区间估计-(已知方差)#eq-7-3-3

   经查表 (或计算) 得到分位点 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$.
3. 最后利用

   Transclude of 1.-期望的区间估计-(已知方差)#eq-7-3-4

   作等式变形, 得到所要区间左右端点

   Transclude of 1.-期望的区间估计-(已知方差)#eq-7-3-5

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• 例 7.3.1 (滚珠直径 期望的区间估计)
• 3.1
• 3.3