1. 期望的区间估计 (已知方差)

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$,参数 $\mu$ 未知, ${\sigma }_0^2$ 已知. $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本 我们来寻求 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计.

由推论 6.3.1 知, $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }_0^2}{n}\right)$,从而

$$U=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right).\text{\hspace{1em}(7.3.2)}$$

由

$$P\left(\left|U\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha ,\text{\hspace{1em}(7.3.3)}$$

查标准正态分布表 (或用 $\mathrm{R}$ 软件的 $\mathfrak{q}$ norm $\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)$,得 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$ (例如 $u_{0.975}=1.96$ ),

亦即

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha \text{\hspace{1em}(7.3.4)}$$ $$P\left(\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\le \mu \le \bar{X}+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right)=1-\alpha .$$

至此,我们得到 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计为

$$\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.5)}$$

总结一下,我们是如何得到 $\mu$ 的区间估计的. 首先我们得到了 (7.3.2),即得到了仅含待估计参数、不含其他未知参数的一个样本函数, 并且求得了它的分布. 其次是利用 (7.3.3) 经查表 (或计算) 得到分位点 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$. 最后利用 (7.3.4) 作等式变形, 得到所要区间左右端点.

例 7.3.1 (滚珠直径)