例 7.3.3 (零件尺寸 方差的区间估计 (已知期望))

• 已知 ^setting
  • 某厂生产的零件尺寸 $X\sim N\left(12.5,{\sigma }^2\right)$.
  • 从某天生产的零件中随机地抽取 4 只, 测得样本观测值
  • $\begin{array}{llll}12.6& 13.4& 12.8& 13.2\end{array}$
• 试求 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解

由

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n{\left(x_i-{\mu }_0\right)}^2\\ & ={\left(12.6-12.5\right)}^2+{\left(13.4-12.5\right)}^2+{\left(12.8-12.5\right)}^2+{\left(13.2-12.5\right)}^2\\ & =\mathrm{1.4.}\end{array}$$

和 $\alpha =0.05$, 查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的

• ${\chi }_{0.975}^2\left(4\right)=11.14329$
• ${\chi }_{0.025}^2\left(4\right)=0.4844186$,

用

Transclude of 3.-方差的区间估计-(已知期望)#eq-7-3-7

得到 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.95 的区间估计 $\left[0.13,2.89\right]$.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

import numpy as np
from scipy.stats import chi2
 
# 定义数据向量 x
x = np.array([12.6, 13.4, 12.8, 13.2])
print(f"样本数据 (x): {x}")
 
# 定义假设均值 mu0 (在方差的置信区间计算中通常不直接使用，但代码中出现了)
mu0 = 12.5
print(f"假设均值 (mu0): {mu0}")
 
# 定义显著性水平 alpha
alpha = 0.05
print(f"显著性水平 (alpha): {alpha}")
 
# 计算样本大小 n
n = len(x)
print(f"样本大小 (n): {n}")
 
# 计算平方和 z1 (围绕假设均值 mu0 的平方和)
z1 = np.sum((x - mu0)**2)
print(f"平方和 (sum((x - mu0)^2)): {z1:.4f}")
 
# 计算卡方分布的临界值
lower_critical_value = chi2.ppf(1 - alpha / 2, n)
upper_critical_value = chi2.ppf(alpha / 2, n)
print(f"卡方分布下临界值 (chi2(1 - alpha/2, n)): {lower_critical_value:.4f}")
print(f"卡方分布上临界值 (chi2(alpha/2, n)): {upper_critical_value:.4f}")
 
# 计算方差的置信区间
lower_bound_variance = z1 / lower_critical_value
upper_bound_variance = z1 / upper_critical_value
confidence_interval_variance = [lower_bound_variance, upper_bound_variance]
 
# 输出方差的置信区间
print("\n方差的置信区间 (95%):")
print(f"  下界: {confidence_interval_variance[0]:.4f}")
print(f"  上界: {confidence_interval_variance[1]:.4f}")
print(f"  表示为区间: [{confidence_interval_variance[0]:.4f}, {confidence_interval_variance[1]:.4f}]")

本数据 (x): [12.6 13.4 12.8 13.2]  
假设均值 (mu0): 12.5  
显著性水平 (alpha): 0.05  
样本大小 (n): 4  
平方和 (sum((x - mu0)^2)): 1.4000  
卡方分布下临界值 (chi2(1 - alpha/2, n)): 11.1433  
卡方分布上临界值 (chi2(alpha/2, n)): 0.4844  
  
方差的置信区间 (95%):  
 下界: 0.1256  
 上界: 2.8901  
 表示为区间: [0.1256, 2.8901]