3. 方差的区间估计 (已知期望)

此时由 $X\sim N\left({\mu }_0,{\sigma }^2\right)$ 知,

$$\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\sim N\left(0,1\right),i=1,2,\cdots ,n,$$

所以

$$\sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)$$

再令

$$P\left({\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)\le \sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 ${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 和 ${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)},\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.7)}$$

• 例 7.3.3 (零件尺寸 方差的区间估计 (已知期望))
• 分析一个关于方差区间估计的常见误区