例 7.3.6 (两点分布的参数的区间估计)

设总体 $X\sim B\left(1,p\right)$, 试求 $p$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计.

解

由于 $E\left[X\right]=p$ 和 $S_n^2=\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)$, 利用

Transclude of 7.3.4-非正态总体参数的区间估计#eq-7-3-13

近似地有

$$\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)}}\sqrt{n}\sim N\left(0,1\right).$$

对于给定的置信度 $1-\alpha$, 由标准正态分布表查得 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$, 就得到 $p$ 的区间估计

$$\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)/n},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)/n}\right].$$