分析一个关于方差区间估计的常见误区

主题： 在已知期望 $\mu$ 的条件下，能否使用与均值相关的 Z 统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 来构造方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间？

一、 问题的提出

• 我们知道，当总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的方差 ${\sigma }^2$ 已知时，可以用枢轴量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 来构造均值 $\mu$ 的置信区间。
• 现在考虑相反的情况：假设均值 $\mu$ 已知，我们想构造方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间。
• 一个看似 plausible 的想法是：既然 $Z$ 统计量中含有 $\sigma$，并且当 $\mu$ 已知时 $Z$ 的分布 $N(0,1)$ 也是已知的，我们是否可以直接利用 $Z$ 来反推出 ${\sigma }^2$ 的区间呢？

二、 尝试使用 Z 统计量推导 ${\sigma }^2$ 区间

1. 枢轴量及其分布 (假设 $\mu$ 已知，$\sigma$ 未知):

   • $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$
   • 假定总体正态或 $n$ 足够大，则 $Z\sim N(0,1)$。

2. 标准正态分布的概率陈述:

   • 对于置信水平 $1-\alpha$，存在临界值 $u_{1-\alpha /2}$ (满足 $P(Z>u_{1-\alpha /2})=\alpha /2$) 使得： $P(-u_{1-\alpha /2}<Z<u_{1-\alpha /2})=1-\alpha$

3. 代入 Z 统计量表达式: $P\left(-u_{1-\alpha /2}<\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<u_{1-\alpha /2}\right)=1-\alpha$

4. 尝试从不等式中分离出 $\sigma$:

   • 核心不等式为：$-u_{1-\alpha /2}<\frac{(\bar{X}-\mu )\sqrt{n}}{\sigma }<u_{1-\alpha /2}$。
   • 考虑其绝对值形式： $\left|\frac{(\bar{X}-\mu )\sqrt{n}}{\sigma }\right|<u_{1-\alpha /2}$
   • 假设 $\bar{X}\ne \mu$ (若 $\bar{X}=\mu$，则无法得到关于 $\sigma$ 的信息)。由于 $\sigma >0$ 且 $u_{1-\alpha /2}>0$，整理可得： $\frac{|\bar{X}-\mu |\sqrt{n}}{\sigma }<u_{1-\alpha /2}$ $\sigma >\frac{|\bar{X}-\mu |\sqrt{n}}{u_{1-\alpha /2}}$

三、 分析尝试失败的原因

1. 仅得到单侧置信下限：

   • 上述推导结果 $\sigma >\frac{|\bar{X}-\mu |\sqrt{n}}{u_{1-\alpha /2}}$ (或 ${\sigma }^2>{\left(\frac{(\bar{X}-\mu )\sqrt{n}}{u_{1-\alpha /2}}\right)}^2$) 仅仅给出了 $\sigma$ (或 ${\sigma }^2$) 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信下限。
   • 它没有提供置信上限。因此，我们无法形成一个双侧的置信区间。

2. 无法约束 $\sigma$ 的上限：

   • Z 统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 对 $\sigma$ 的上限不敏感。
   • 如果样本均值 $\bar{X}$ 碰巧非常接近已知的总体均值 $\mu$，则分子 $|\bar{X}-\mu |$ 非常小。
   • 即使 $\sigma$ 非常大，导致分母 $\sigma /\sqrt{n}$ 很大，Z 的绝对值 $|\frac{(\bar{X}-\mu )\sqrt{n}}{\sigma }|$ 仍然可能很小，落在区间 $(-u_{1-\alpha /2},u_{1-\alpha /2})$ 内。
   • 因此，Z 统计量无法排除 $\sigma$ 取非常大值的可能性，无法为其设定一个置信上限。

3. 枢轴量与目标参数的信息不匹配：

   • Z 统计量衡量的是样本均值 $\bar{X}$ 相对于总体均值 $\mu$ 的标准化偏差。它反映的是均值的抽样误差信息，虽然这个误差的大小与 $\sigma$ 有关。
   • 而估计方差 ${\sigma }^2$ 需要的是关于数据散布程度的信息。这种信息主要包含在样本观测值 $X_i$ 相对于中心（这里是已知的 $\mu$）的离差平方和 ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$ 中。
   • Z 统计量并没有直接利用 $\sum (X_i-\mu {)}^2$ 这个核心信息。

四、 正确的方法回顾：使用卡方 (${\chi }^2$) 分布

1. 正确的枢轴量 (当 $\mu$ 已知时)：

   • $G_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$
   • 这个统计量直接基于离差平方和，是衡量方差的核心。

2. 枢轴量的分布：

   • 假设总体为 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $G_1\sim {\chi }^2(n)$ (自由度为 $n$ 的卡方分布)。

3. 构造区间：

   • ${\chi }^2$ 分布是定义在 $(0,\infty )$ 上的分布。我们可以找到两个临界值 ${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$ 和 ${\chi }_{\alpha /2}^2(n)$ 使得： $P\left({\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)<G_1<{\chi }_{\alpha /2}^2(n)\right)=1-\alpha$ $P\left({\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)<\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}<{\chi }_{\alpha /2}^2(n)\right)=1-\alpha$
   • 从这个包含 ${\sigma }^2$ 的双边不等式中，可以成功解出 ${\sigma }^2$ 的下限和上限： $\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)}<{\sigma }^2<\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)}$
   • 这就给出了 ${\sigma }^2$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间。

五、 结论

• 试图使用 Z 统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 来构造方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间（即使在 $\mu$ 已知的情况下）是行不通的。
• 主要原因是该方法只能提供 ${\sigma }^2$ 的置信下限，无法提供上限，不能形成区间。
• 根本原因在于 Z 统计量衡量的是均值的抽样误差，而非直接衡量数据的离散程度。
• 正确的方法是使用基于离差平方和的统计量 $\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$，该统计量服从卡方分布 ${\chi }^2(n)$，其性质允许我们推导出 ${\sigma }^2$ 的双侧置信区间。